Răspuns:
n = {2, 4, 6, 8, 10... } adica toate numerele pare fara 0.
Explicație pas cu pas:
Sper ca am inteles bine ecuatia: [tex]A = 2*6^n + 7*4^{n+1}[/tex] se divide cu 5
deoarece [tex](a*b)^n = a^n * b^n[/tex], putem rescrie:
[tex]A = 2*6^n + 7*4^{n+1} = 2 * 2^n * 3^n + 7 * 2^{n+1} * 2^ {n+1} = 2^{n+1}(3^n + 7*2^{n+1})[/tex]
Deoarece [tex]2^{n+1}[/tex] nu s-ar putea divide cu 5 niciodata, ramane sa se arate ca [tex]3^n + 7*2^{n+1}[/tex] poate sa ajunga multiplu de 5, adica sa aiba ultima cifra 0 sau 5.
Fie n un numar de forma 4k, 4k+1, 4k+2 si 4k+3 unde k apartine de N.
Se poate observa ca ultima cifra a [tex]3^n[/tex] si [tex]2^n[/tex] se repeta din 4 in 4:
[tex]3^{4k} -> 1\\3^{4k+1} -> 3\\3^{4k+2} -> 9\\3^{4k+3} -> 7\\3^{4(k+1)} -> 1[/tex] [tex]2^{4k} -> 6\\2^{4k+1} -> 2\\2^{4k+2} -> 4\\2^{4k+3} -> 8\\2^{4(k+1)} -> 6[/tex]
Va trebui sa ajustam coloana lui [tex]2^n[/tex], deoarece avem factorul 7 in fata:
[tex]3^{4k} -> 1\\3^{4k+1} -> 3\\3^{4k+2} -> 9\\3^{4k+3} -> 7\\3^{4(k+1)} -> 1[/tex] [tex]7*2^{4k} -> 2\\7*2^{4k+1} -> 4\\7*2^{4k+2} -> 8\\7*2^{4k+3} -> 6\\7*2^{4(k+1)} -> 2[/tex]
De asemenea, putem avansa putin coloana lui [tex]2^n[/tex] deoarece in ecuatie avem [tex]3^n[/tex] si [tex]2^{n+1}[/tex]:
[tex]3^{4k} -> 1\\3^{4k+1} -> 3\\3^{4k+2} -> 9\\3^{4k+3} -> 7\\3^{4(k+1)} -> 1[/tex] [tex]7*2^{4k+1} -> 4\\7*2^{4k+2} -> 8\\7*2^{4k+3} -> 6\\7*2^{4(k+1)} -> 2\\7*2^{4(k+1)+1} -> 4[/tex]
Trebuie sa gasim o linie pentru care suma ultimelor cifre da fie 0, fie 5.
pentru 4k suma este 5.
pentru 4k+2 suma este 15, deci ultima cifra va fi 5.
In concluzie, numarul A este multiplu de 5 atunci cand n este de forma 4k sau 4k+2. Luand, pe rand, k = 0, 1, 2, 3... obtinem:
n = {2, 4, 6, 8, 10... } adica toate numerele pare fara 0
Am omis n = 0 pentru ca [tex]3^0 = 2^0 = 1[/tex], ceea ce se abate de la regula cifrelor. Se poate verifica pentru n = 0 ca A nu este divizibil cu 5.
