Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Considerăm un număr complex z. Observăm că dacă Im(z) și Re(z) aparțin lui Q, atunci si Im(z^2), Re(z^2) aparțin Q. Prin inducție rezulta că Im(z^n), Re(z^n) aparțin lui Q, oricare ar fi n e N.
Cazul I: x aparține cadranului I => sin x = 4/5;
Fie z = 3/4 + 4/5 i = cos x + i sin x
Formula lui Moivre => z^2021 = cos(2021x) + isin(2021x)
Dar stim ca Im(z^2021) e Q rezulta cos(2021x) e Q (este numar rational)
Cazul II: x apartine cadranului IV => sin x = -4/5
Analog rezulta ca cos(2021x) e Q
