[tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,\, f(x) = x^2+1[/tex]
[tex]\displaystyle c) \,\int_{0}^x e^{f(t)}\, dt = x \Rightarrow \int_{0}^x e^{f(t)}\, dt - x = 0[/tex]
Observăm că avem o soluție x = 0.
Urmează să demonstrăm că această soluție este unică.
[tex]\displaystyle \text{Notez }F(x) = \int_{0}^x e^{f(t)}\, dt - x[/tex]
Dacă o funcție este strict crescătoare, atunci aceasta nu poate lua nici o valoare mai mult de o dată.
[tex]F'(x) = e^{f(x)}-1 = e^{x^2+1}-1[/tex]
[tex]x^2\geq 0 \Rightarrow x^2+1 \geq 1 \Rightarrow e^{x^2+1} \geq e^1 \Rightarrow e^{x^2+1}-1 \geq e-1 > 0[/tex]
[tex]\Rightarrow F'(x) > 0 \Rightarrow F(x) - \text{strict crescatoare}[/tex]
⇒ F(x) = 0 doar atunci când x = 0
⇒ x = 0 este soluție unică pentru F(x) = 0
