👤
a fost răspuns

Buna seara! As avea, va rog, nevoie de ajutorul vostru pentru urmatoarea problema:

3. Fie multimea
U = {(x, x + y, −x + 2y) : x, y ∈ R} ⊂ R3.
a) Justificati ca U este un subspatiu vectorial al lui R3.
b) Determinati o baza a lui U.
c) Stabiliti daca vectorul ¯v = (2, 3, 5) apartine subspatiului U.

Multumesc mult!

Răspuns :

OL3GZE

a) [tex]U=\left\{x(1,1,-1)+y(0,1,2):\: x,y\in\mathbb{R}\right\}=\langle (1,1,-1),(0,1,2)\rangle[/tex]. De aici se vede ca [tex]U [/tex] este un spatiu generat de vectori din [tex]\mathbb{R}^3[/tex], inseamna ca este subspatiu linear din [tex]\mathbb{R}^3[/tex].

b) Fiind sistema [tex] ((1,1,-1),(0,1,2)) [/tex] linear independenta pentru ca vectorii nu sunt multipli unui altuia, avem o baza a lui [tex]U [/tex].

c) Daca vectorul [tex] v [/tex] apartinea subspatiului [tex]U [/tex], ar exista scalari [tex]\alpha,\beta[/tex] satisfacand: [tex]v=(2,3,5)=\alpha(1,1,-1)+\beta(0,1,2) [/tex]. Tinind cont ca al doilea vector nu adauga nimic la primul component, [tex] \alpha=2 [/tex]. Pentru a avea egalitate la al doilea component, [tex]\beta=1[/tex] dar in acest cas, al treilea component nu satisface egalitatea. De aici [tex] v\notin U [/tex].

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile furnizate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag și data viitoare! Nu uitați să adăugați site-ul nostru la favorite!


Ze Learnings: Alte intrebari