Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Folosim doua din propritatile logaritmului:
logₐ[tex]b^c[/tex] = c*logₐ[tex]b[/tex]
si
logₐ[tex]b[/tex]= logₙ[tex]b[/tex] / logₙ[tex]a[/tex] ⇒ logₙ[tex]b[/tex] = logₙ[tex]a[/tex] * logₐ[tex]b[/tex] ⇒ log₅[tex]x[/tex] = log₃[tex]x[/tex] * log₅[tex]3[/tex]
Asadar:
log₃[tex]x\sqrt[3]{x}[/tex] = log₃[tex]\sqrt[3]{x^3*x}[/tex] = log₃[tex]\sqrt[3]{x^4}[/tex] = log₃[tex]x^{\frac{4}{3}[/tex] = [tex]\frac{4}{3}[/tex]*log₃[tex]x[/tex]
log₃[tex]x^{-3}[/tex] = -3*log₃[tex]x[/tex]
log₅[tex]x^5[/tex] =5*log₅[tex]x[/tex] = 5*log₃[tex]x[/tex] * log₅[tex]3[/tex]
log₅[tex]x^2*\sqrt{x}[/tex] =log₅[tex]\sqrt{x^4*x}[/tex] =log₅[tex]\sqrt{x^5}[/tex] = log₅[tex]x^{\frac{5}{2}[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex]*log₅[tex]x[/tex] = [tex]\frac{5}{2}[/tex]*log₃[tex]x[/tex]*log₅[tex]3[/tex]
Asadar, numaratorul este:
log₃[tex]x\sqrt[3]{x}[/tex] + log₃[tex]x^{-3}[/tex] = [tex]\frac{4}{3}[/tex]*log₃[tex]x[/tex] - 3*log₃[tex]x[/tex] = log₃[tex]x[/tex] *([tex]\frac{4}{3} -3[/tex]) = log₃[tex]x[/tex] *([tex]\frac{4-12}{3}[/tex])= [tex]-\frac{8}{3}[/tex]*log₃[tex]x[/tex]
iar numitorul este:
log₅[tex]x^5[/tex] - log₅[tex]x^2*\sqrt{x}[/tex] = 5*log₃[tex]x[/tex] * log₅[tex]3[/tex] - [tex]\frac{5}{2}[/tex]*log₃[tex]x[/tex]*log₅[tex]3[/tex] = log₃[tex]x[/tex]*log₅[tex]3[/tex] *([tex]5-\frac{5}{2}[/tex]) =
= log₃[tex]x[/tex]*log₅[tex]3[/tex] *([tex]\frac{10-5}{2}[/tex]) = [tex]\frac{5}{2}[/tex]*log₃[tex]x[/tex]*log₅[tex]3[/tex]
Si atunci expresia noastra este:
A = ([tex]-\frac{8}{3}[/tex]*log₃[tex]x[/tex]) / ([tex]\frac{5}{2}[/tex]*log₃[tex]x[/tex]*log₅[tex]3[/tex]) = ([tex]-\frac{8}{3}*\frac{2}{5}[/tex]*log₃[tex]x[/tex]) / (log₃[tex]x[/tex]*log₅[tex]3[/tex]) = -16/(15*log₅[tex]3[/tex]) , care nu depinde de x.
