Răspuns:
33333...3 are 2010 cifre.
Explicație pas cu pas:
In baza 4 folosim cifrele 0, 1, 2, 3.
Mai avem si: 3+1=10.
Daca numarul 3333...3 are n cifre, atunci
3333...3+1=1000...0,
iar rezultatul 1000...0 are n+1 cifre.
Numarul 1000...0 cu n+1 cifre in baza 4 este egal cu 4ⁿ in baza 10.
Deci 33333...3 + 1 in baza 4 = 4ⁿ in baza 10, sau
a=33333...3 in baza 4 = 4ⁿ-1 in baza 10.
Acum in baza 10:
Dar a= 2⁴⁰²⁰-1=4ⁿ-1, adica 2⁴⁰²⁰=4ⁿ.
Sau (2²)²⁰¹⁰=4ⁿ, deci n=2010.
Prin urmare numarul 3333...3 in baza 4 are 2010 cifre.
